2、区域c与其中一个区域的组合区域包含另一个区域，与假设矛盾。

所以a1，b1必然分别在aab，abb两条曲线上，则区域c必将与x相交于曲线a1ab1或a1bb1，即相交曲线包含a或b点。

令a、b、c三个区域组成的组合区域为y。

任意区域d，与a、b、c三个区域两两相邻，如上图，则d必将与y相邻，由上述

证明可知，则d与y的相交曲线必将至少包括a、a1、b1中的两点，无论是那两点，则d必将与a、b、c其中某两个区域包含第三个区域，即必将有一个区域成为内部区域，与假设矛盾。

即得出结论一，四个两两相邻的区域中至少有一个区域属于内部区域。

因为内部区域与外部区域无法相邻，所以不存在一个外部区域e，使得a、b、c、d、e五个区域两两相邻。（结论二）

假设，存在一个内部区域f，使得a、b、c、d、f五个区域两两相邻。

因为a、b、c、d、f中，至少有一个是外部区域。以a为例，a为外部区域，因为a与其他四个区域两两相邻，则a必然与四个区域分别相交于至少一条曲线。

若将a移除，则另外四个区域分别与a相交的曲线就与外界相通，即四个区域都变为外部区域，而四个区域又是两两相邻的，与结论一相悖。

即得出结论三，不存在一个内部区域f，使得a、b、c、d、f五个区域两两相邻。

因为平面中，除了内部区域都是外部区域，所以通过结论二和结论三得出结论四，即不存在一个区域g，使得a、b、c、d、g五个区域两两相邻。即至多存在四个两两相邻的区域。

四色定理得证！

为了能让学生和老师们看的更加透彻，所以刘志成还特意写了注释:

注释：