这一时期，拓扑学家对庞加莱猜想的研究虽没能产生他们期待的结果，但却因此发展出了低维拓扑学这门学科。

斯梅尔在六十年代初想到了一个天才的主意：如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？

随后，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，他也因此获得1966年菲尔茨奖。

1983年，美国数学家弗里德曼将证明又向前推动了一步，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得1986年的菲尔茨奖。

虽然这一猜想的高维推论已得到解决，但三维像只拦路虎一样趴在最后一关口，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。

拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具，瑟斯顿就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并也因此获得了1986年的菲尔茨奖。

之后，美国数学家理查德汉密尔顿提出了解决庞加莱猜想的纲领，为破解猜想奠定了基础，使得对此猜想的证明取得了重要进展。

汉密尔顿研究的方向也被称之为ricci流，这是由意大利数学家里奇命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形。

早在二十年前，1976年的菲尔兹奖获得者，华裔数学家邱程桐就知道了汉密尔顿的研究方向，也因此，他让自己的几个学生跟着后者研究起ricci流来。

在使用ricci流进行空间变换时，到后来总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。

在邱程桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，汉密尔顿在1993年发表了一篇关于理解奇点的重要论文。

这一刻，邱程桐已经隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻就要到来了。

七年时间转瞬即逝，但邱程桐和他的学生们对庞加莱猜想的证明，却没有丝毫进展。